Uno,diez,.. ¿Cómo sigue?, por Isaac Asimov

Siempre me ha desconcertado un poco mi incapacidad para resolver acertijos matemáticos, ya que (en el fondo de mi corazón) siento como si esto fuera incompatible conmigo mismo. Por cierto que muchos de mis queridos amigos han intentado la explicación que en lo profundo de mi ser reposa una vena de estupidez hábilmente escondida, pero de alguna manera esta teoría nunca me ha convencido.

Lamentablemente no tengo ninguna otra explicación que dar.

Entonces puede usted imaginarse que cuando me encuentro con un problema para el que puedo encontrar la respuesta, mi corazón canta de alegría. Esto me ocurrió una vez cuando era muy joven, y nunca me he olvidado. Déjeme que le explique con cierto detalle, pues así llegaré adonde deseo llevarlo.

En esencia, el problema es éste. A usted le dan el número que desee de pesas de valores enteros: de un gramo, dos gramos, tres gramos, cuatro gramos, etc. De ellas usted debe elegir un número suficiente para que, sumándolas de manera apropiada, pueda pesar cualquier número entero de gramos desde uno hasta mil. Bueno, entonces ¿cómo se deben elegir las pesas de manera de tener el menor número posible que nos permita lograr lo propuesto?

Yo razoné de esta manera...

Tengo que comenzar con una pesa de 1 gramo, ya que es la única manera de pesar un gramo. Si ahora tomo una segunda pesa de 1 gramo puedo pesar dos gramos usando ambas pesas de 1 gramo. Pero puedo ahorrar pesas si, en lugar de una segunda pesa de 1 gramo tomo una de 2 gramos, pues entonces no solo puedo pesar dos gramos con esta nueva pesa, sino que también puedo pesar tres gramos empleando la de 2 gramos más la de 1 gramo.

¿Cómo sigo? ¿una pesa de 3 gramos, quizá? Eso seria antieconómico, porque tres gramos ya se pueden pesar con las de 2 gramos más la de 1 gramo. De modo que di un paso más y elegí una pesa de 4 gramos. Eso no sólo me dio la posibilidad de pesar cuatro gramos, sino también cinco gramos (4 gramos más 1 gramo), seis gramos (4 gramos más 2 gramos) y siete gramos (4 gramos mas 2 gramos mas 1 gramo).

A esta altura comenzaba a percibir un cierto patrón constante. Si siete gramos era el máximo que podía alcanzar, en el paso siguiente tendría que elegir una pesa de 8 gramos y eso me llevaría hasta quince gramos (8 gramos mas 4 gramos mas 2 gramos mas 1 gramo) pasando por todos los pesos enteros intermedios. El peso siguiente era el de 16 gramos, y ya veía claramente que para pesar cualquier numero de gramos uno tenia que tomar una serie de pesas (empezando con la de 1 gramo), cada una de las cuales fuera el doble de la anterior.

Eso significaba que yo podía pesar cualquier número de gramos desde uno hasta mil mediante diez y solo diez pesas: de 1 gramo, 2 gramos, 4 gramos, 8 gramos, 16 gramos, 32 gramos, 64 gramos, 128 gramos, 256 gramos y 512 gramos. En realidad estas pesas me permitían llegar hasta 1.023 gramos.

Ahora podemos olvidarnos de los pesos y trabajar con números solamente. Usando los números, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256 y 512 y solo esos, usted puede expresar cualquier otro número hasta el 1.023 inclusive, sumando dos o más de ellos. Por ejemplo, el numero 100 se puede expresar como 64 mas 32 mas 4, el numero 729 se puede expresar como 512 mas 128 mas 64 mas 16 mas 8 mas 1. Y, por supuesto, el 1.023 se puede expresar como la suma de los diez números.

Si agrega usted a esta lista de números el 1.024, entonces puede seguir formando números hasta el 2.047; y si luego agrega el 2.048, puede seguir formando números hasta el 4.095; y si luego agrega...

Bueno, si usted comienza con el 1 y lo sigue duplicando indefinidamente, tendrá usted una sucesión de números que mediante sumas adecuadas le permitirán expresar absolutamente cualquier número finito.

Hasta aquí todo está bien, pero esta sucesión tan interesante de números, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64,..., parece un tanto desprolija. Seguramente debe haber una forma más prolija de expresarla. Y aquí la tienen.

Olvidémonos por un minuto del 1 y abordemos el 2. Si lo hacemos podemos empezar con la trascendente afirmación que 2 es 2 (¿hay oposición?). Pasando al número siguiente, podemos decir que 4 es 2 por 2. Luego, 8 es 2 por 2 por 2; 16 es 2 por 2 por 2 por 2; 32 es... Pero ustedes ya se dan cuenta.

Así que podemos escribir la sucesión (seguimos ignorando el 1) como: 2, 2 por 2,2 por 2 por 2, 2 por 2 por 2 por 2, etc. En todo esto hay una especie de uniformidad y regularidad agradable, pero todos esos 2 por 2 por 2 nos hacen ver manchas. Por lo tanto, en lugar de escribir todos los números 2, sería conveniente contar cuántos 2 se multiplican empleando el método exponencial.

Así, si 4 es igual a 2 por 2, lo llamaremos 2 2 (dos a la segunda potencia o dos al cuadrado). Lo mismo, si 8 es 2 por 2 por 2, podemos indicar que son tres los números 2 que se multiplican escribiendo 8 como 2 3 (dos a la tercera potencia o dos al cubo). Siguiendo esa línea de razonamiento vemos que 16 es 2 4 (dos a la cuarta potencia), 32 es 2 5 (dos a la quinta potencia), etc. En cuanto al 2 mismo, tenemos un solo número 2 y lo llamamos 2 1 (dos a la primera potencia).

Y algo más. Podemos decidir que 2 0 (dos a la potencia cero) sea igual a 1. (En realidad es conveniente que todo número elevado a la potencia cero sea igual a 1. Así, 3 0 es igual a 1, y también lo son 17 0 y 1.965.211 0 . Pero, por el momento, sólo nos interesa el 2°, y lo tomaremos igual a 1.)

Es decir que en lugar de la sucesión 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64,..., tenemos la sucesión 2°, 2 1 , 2 2 , 2 3 , 2 4 , 2 5 , 2 6 ,... Es la misma sucesión si tenemos en cuenta los valores de sus distintos términos, pero la segunda forma de escribirla es de alguna manera más elegante y, según veremos, más útil.

Empleando estas potencias de 2 podemos expresar cualquier número. He dicho antes que 100 puede expresarse como 64 más 32 más 4. Esto quiere decir que se puede expresar como 2 6 más 2 5 más 2 2 . Del mismo modo si 729 es igual a 512 más 128 más 64 más 16 más 8 más 1, también se lo puede expresar como 2 9 más 2 7 más 2 6 más 2 4 más 2 3 más 2 0 . Y por supuesto que 1.023 es 2 9 más 2 8 más 2 7 más 2 6 más 2 5 más 2 4 más 2 3 más 2 2 más 2 1 más 2 0 .

Pero seamos sistemáticos en esto. Estamos empleando diez potencias distintas del 2 para expresar cualquier número por debajo del 1.024, así que nada nos cuesta construirlos a todos. Si no queremos emplear una cierta potencia en la suma que hace falta para expresar un número dado, entonces basta con que la multipliquemos por 0. Si queremos emplearla, la multiplicamos por 1. Esas son las únicas alternativas: o bien usamos una cierta potencia, o no la usamos; o bien la multiplicamos por 1, o por 0.

Empleando un asterisco para indicar la multiplicación, podemos decir que 1.023 es:

1*2 9 más 1*2 8 más 1*2 7 más 1*2 6 más 1*2 5 más 1*2 4 más 1*2 3 más 1*2 2 más 1*2 1 más 1*2 0 .

Hemos empleado todas las potencias. En cambio, al expresar el 729 tendremos:

1*2 9 más 0*2 8 más 1*2 7 más 1*2 6 más 0*2 5 más 1*2 4 más 1*2 3 más 0*2 2 más 0*2 1 más 1*2 0 .

Y análogamente al expresar el 100 podemos escribir:

0*2 9 + 0*2 8 + 0*2 7 + 1*2 6 + 1*2 5 + 0*2 4 + 0*2 3 + 1*2 2 + 0*2 1 +0*2 0 .

Usted podría preguntar: ¿por qué molestarse en incluir todas esas potencias que después no usa?
Primero usted las escribe y luego las borra multiplicándolas por cero. Sin embargo, la cuestión reside en que si usted las escribe a todas sistemáticamente, sin excepción, luego puede dar por sabido que están allí y omitirlas del todo, quedándose sólo con los unos y los ceros.

Entonces podemos escribir

1.023 como 1111111111;

podemos escribir

729 como 1011011001,

y podemos escribir

100 como 0001100100.

De hecho, podemos ser sistemáticos en todo esto y, recordando el orden de las potencias, podemos usar las diez potencias para expresar todos los números hasta el 1.023 de esta manera:

0000000001 igual a 1
0000000010 igual a 2
0000000011 igual a 3
0000000100 igual a 4
0000000101 igual a 5
0000000110 igual a 6
0000000111 igual a 7,
y así siguiendo hasta
..............................
1111111111 igual a 1.023.

Por supuesto que no tenemos por qué limitarnos nada más que a diez potencias del número 2, podemos tener once potencias o catorce, o cincuenta y tres, o un número infinito. Pero sería bastante cansado escribir un número infinito de unos y ceros solamente para indicar si cada una de las infinitas potencias del 2 se usa o no se usa. Así que se adopta la convención de omitir todas las potencias altas del número 2 que no se usan en un número dado y comenzar por la potencia más alta que sí se usa, continuando a partir de ésa. En otras palabras, no escriba la línea indefinida de ceros que aparecerían a la izquierda. En ese caso, los números se pueden representar como

01
10
11
100
101
110
111
es igual a 1
es igual a 2
es igual a 3
es igual a 4
es igual a 5
es igual a 6
es igual a 7

De esta manera, absolutamente cualquier número se puede expresar como una cierta combinación de unos y ceros, y la verdad es que unas pocas tribus primitivas han empleado un sistema de numeración como éste.

Pero el primer matemático civilizado que lo hizo sistemáticamente fue Gottfried Wilhelm Leibniz, hace cerca de tres siglos. Este se sintió maravillado y gratificado porque razonó que el 1, que representa la unidad, era un símbolo evidente de Dios, mientras que el 0 representaba la nada que, además de Dios, también existía en un principio. En consecuencia, si todos los números pueden representarse simplemente empleando el 1 y el 0, seguramente esto es lo mismo que decir que Dios creó al Universo a partir de la nada.

A pesar de tan terrible simbolismo, esta cuestión de los unos y ceros no causó ninguna impresión en absoluto a los hombres de negocios más prosaicos. Muy bien puede ser una curiosidad matemática fascinante, pero ningún contador va a trabajar con 1011011001 en lugar de 729.

Pero de repente, resulta que este sistema de numeración basado en dos (también llamado “sistema binario”, palabra que proviene del latín binarius , que significa “dos por vez”) es ideal para las computadoras electrónicas.

Después de todo, los dos dígitos diferentes, el 1 y el 0, se pueden equiparar en la computadora con las dos posiciones distintas de una llave dada: “si” (encendida) y “no” (apagada). Hagamos que “si” represente el 1 y “no” represente el 0, entonces, si la maquina contiene diez llaves, el numero 1.023 se puede indicar como si-si-si-si-si-si-si-si-si-si, el numero 729 será si-no-si-si-no-si-si-no-no-si; y el numero 100 será no-no-no-si-si-no-no-si-no-no.


De: De los números y su historia. Isaac Asimov

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